微分中值定理

可导 $\to$ 费马 $\to$ 罗尔 $\{\begin{array}{llc}拉氏& & 构造原函数\\ 柯西& & 交叉原函数\end{array}$

费马引理：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，且在 $x_0$ 处可导，若 $f(x)$ 在 $x_0$ 取到极值，则 $f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$

证明：
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极大值，则 $\forall x\in U(x_0)$，均有 $f(x)\le f(x_0)$
又 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f_{-}^{{}^{\prime }}(x_0)$ 与 $f_{+}^{{}^{\prime }}(x_0)$ 都存在且相等
$$f_{-}^{{}^{\prime }}(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0，f_{+}^{{}^{\prime }}(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0，$$ $f_{-}^{{}^{\prime }}(x_0)=f_{+}^{{}^{\prime }}(x_0)=0$，所以 $f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$

罗尔定理：设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，在开区间 $(a,b)$ 可导，若 $f(a)=f(b)$，则 $\exists ϵ\in (a,b)$，使 $f^{{}^{\prime }}(ϵ)=0$

证明：
由于 $f(x)\in c[a,b]$，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 存在最大值 $M$ 和最小值 $m$
(1) 当 $M=m$ 时， $f(x)=M$，此时 $f^{{}^{\prime }}(x)=0$，所以 $\exists ϵ\in (a,b)$，使得 $f^{{}^{\prime }}(ϵ)=0$
(2) 当 $M>m$ 时， 由于 $f(a)=f(b)$，则 $M$ 与 $m$ 至少有一个是在 $(a,b)$ 内部取得
不妨设 $M$ 在 $(a,b)$ 内部取得，即 $\exists ϵ\in (a,b)$，使 $f(ϵ)=M$，
又由于 $f(x)$ 在 $ϵ$ 处可导且取到极大值，故 $f^{{}^{\prime }}(ϵ)=0$

拉格朗日：设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，在开区间 $(a,b)$ 可导，则 $f(b)-f(a)=f^{{}^{\prime }}(ϵ)(b-a)$

证明：微分方程还原函数 $g(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x$，
由于 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$(a,b)$ 上可导，$g(a)=g(b)=bf(a)-af(b)$，
所以 $\exists ϵ\in (a,b)$，使 $g^{{}^{\prime }}(ϵ)=0$，结论得证

柯西定理：设 $F(x),G(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，在开区间 $(a,b)$ 可导，若 $\forall x\in (a,b),G^{{}^{\prime }}(x)\ne 0$，则 $\exists ϵ\in (a,b)$，使 $\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F^{{}^{\prime }}(ϵ)}{G^{{}^{\prime }}(ϵ)}$

证明：交叉构造原函数 $g(x)=F(x)[f(b)-f(a)]-f(x)[F(b)-F(a)]$，
由于 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$(a,b)$ 上可导，$g(a)=g(b)=F(a)f(b)-f(a)F(b)$，
所以 $\exists ϵ\in (a,b)$，使 $g^{{}^{\prime }}(ϵ)=0$，结论得证

介值 $\to$ 积分中值

积分中值：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\exists ϵ\in [a,b]$，使 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(ϵ)(b-a)$

证明：因为 $f(x)\in c[a,b]$，所以 $\exists m,M$，使 $m\le f(x)\le M$
$$m(b-a)={\int }_a^{b}mdx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}Mdx=M(b-a)，即m\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}\le M$$ 故 $\exists ϵ\in [a,b]$，使 $f(ϵ)=\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}$，即 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(ϵ)(b-a)$

拉格朗日 $\to$ 积分中值推广

积分中值推广：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\exists ϵ\in (a,b)$，使 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(ϵ)(b-a)$

证明：令 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$(a,b)$ 内可导，
故 $\exists ϵ\in (a,b)$，$F(b)-F(a)=F^{{}^{\prime }}(ϵ)(b-a)$，即 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(ϵ)(b-a)$

单中值

证明 $\exists ϵ$，$f^{(n)}(ϵ)=0$
多次罗尔定理：$f(a)=f(b)=f(c)\to f^{{}^{\prime \prime }}(ϵ)=0$

一阶导数中值定理问题

结论含 $ϵ,a,b$，分离后 $a,b$，构造原函数

• 凑微分法

• 还原函数法

二阶导数中值定理问题

• 凑微分法

• 还原函数法 + 直接积分法

双中值

$ϵ，\eta$ 可能相等

$ϵ，$ 可能相等：多次在同一区间使用中值定理（拉格朗日/柯西）
分离，无 (b-a) 两次拉格朗日/柯西，$\frac{({)}^{{}^{\prime }}}{({)}^{{}^{\prime }}}$ 双柯, 否则双拉，高阶导数泰勒中值

$ϵ，\eta$ 不可相等

$ϵ，$ 不可相等：多次在不同区间使用中值定理（临界点）
临界点：待定法强制相等 或 第1问提供

中值不等式

拉格朗日证明题

泰勒公式证明题

参考资料

【心一学长】证明题大专题
证明提大专题-中值定理（双中值）
证明题大专题-泰勒公式证明题