《高等数学》

第七版 同济大学

上册

第一章 函数与极限

• 第一节 映射与函数

  • 一 映射

    • 映射概念

      • 法则
      • 像
      • 原像
      • 定义域
      • 值域
      • 构成映射的三要素
      • 满射【映射】
      • 单射
      • 双射【一一映射】

    • 逆映射与复合映射

      • 只有单射才存在逆映射

  • 二 函数

    • 函数的概念

      • 自变量

      • 因变量

      • 定义域

      • 值域

      • 对应法则

      • 如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的

      • 表示函数的三种主要方法

        • 表格法
        • 图形法
        • 解析法

    • 函数的几种特性

      • 1. 函数的有界性

      • 2.函数的单调性

      • 3.函数的奇偶性

        • 奇函数
        • 偶函数

      • 4.函数的周期性

    • 反函数与复合函数

      • 直接函数与反函数关于 y = x 对称

    • 函数的运算

    • 初等函数【5种基本初等函数】

      • 幂函数
      • 指数函数
      • 对数函数
      • 三角函数
      • 反三角函数

    • 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数

      • 初等函数

• 第二节 数列的极限

  • 一 数列极限的定义

    • 数列的概念
    • 数列极限的定义【这个定义并没有直接提供如何去求数列的极限，之后会学极限的求法】

  • 二 收敛数列的性质

    • 极限的唯一性
    • 收敛数列的有界性
    • 收敛数列的保号性
    • 收敛数列与其子数列之间的关系 → 数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a

• 第三节 函数的极限

  • 一 函数极限的定义

    • 自变量趋于有限值时函数的极限

      • 左极限
      • 右极限

    • 自变量趋于无穷大时函数的极限

  • 二 函数极限的性质

    • 函数极限的唯一性
    • 函数极限的局部有界性
    • 函数极限的局部保号性
    • 函数极限与数列极限的关系

• 第四节 无穷小与无穷大

  • 一 无穷小

    • 一个函数【不是很小的数！】

  • 二 无穷大

    • 也是一个函数【不是想当然的很大的数】
    • 无穷大与无穷小之间的简单关系

• 第五节 极限运算法则

  • 定理1 两个无穷小的和是无穷小

    • 【数学归纳法】有限个无穷小之和也是无穷小

  • 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

    • 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小
    • 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小

  • 定理3 如果limf(x) = A, limg(x) = B

    • **lim[f(x) ± g(x)] = limf(x) + limg(x) = A + B **

    • **lim[f(x) · g(x)] = limf(x) · limg(x) = A · B **

    • B ≠ 0 时

      • **lim[f(x) / g(x)] = limf(x) / limg(x) = A / B **

    • 推论

      • 常数因子可以提到极限记号外

        • 如果limf(x)存在，而c为常数，那么lim[cf(x)] = climf(x)
        • 因为limc = c

      • 如果limf(x) 存在，而n是正整数，那么lim[f(x)] ^n = [limf(x)] ^n

  • 定理4

    • 数列类似

  • 定理5

  • 定理6【复合函数的极限运算法则】

• 第六节 极限存在准则 两个重要极限

  • 判定极限存在的两个准则

    • I 夹逼准则

    • II 单调有界数列必有极限

      • 柯西极限存在准则【柯西审敛原理】

  • 两个重要的极限

• 第七节 无穷小的比较

  • 高阶无穷小

  • 低阶无穷小

  • 同阶无穷小

  • k阶无穷小

  • 等价无穷小

    • 充分必要条件
    • 定理2

• 第八节 函数的连续性和间断点

  • 一 函数的连续性

    • 连续的定义

      • 左连续
      • 右连续

  • 二 函数的间断点

• 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

  • 一 连续函数的和、差、积、商的连续性
  • 二 反函数与复合函数的连续性
  • 三 初等函数的连续性

• 第十节 闭区间上连续函数的性质

  • 一 有界性与最大值最小值定理
  • 二 零点定理与介值定理
  • 三 一致连续性

第二章 导数与微分

• 第一节 导数概念

  • 一 引例

    • 直线运动的速度
    • 切线问题

  • 二 导数的定义

    • 1. 函数在一点处的导数与导函数

  • 三 导数的几何意义

  • 四 函数可导性与连续性的关系

• 第二节 函数的求导法则

  • 一 函数的和、差、积、商的求导法则

  • 二 反函数的求导法则

  • 三 复合函数的求导法则

  • 四 基本求导法则与导数公式

    • 1. 常数和基本初等函数的导数公式
    • 2. 函数的和、差、积、商的求导法则
    • 3. 反函数的求导法则
    • 4. 复合函数的求导法则

• 第三节 高阶导数

  • 导数的导数 → 二阶导数

    • 类推高阶

  • 莱布尼茨公式

• 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

  • 一 隐函数的导数

    • 隐函数的显化
    • 求隐函数的导数

  • 二 由参数方程所确定的函数的导数

  • 三 相关变化率

• 第五节 函数的微分

  • 一 微分的定义

  • 二 微分的几何意义

  • 三 基本初等函数的微分公式与微分运算法则

    • 1. 基本初等函数的微分公式
    • 2. 函数和、差、积、商的微分法则
    • 3. 复合函数的微分法则

  • 四 微分在近似计算中的应用

    • 1. 函数的近似计算
    • 2. 误差估计

第三章 微分中值定理与导数的应用

• 第一节 微分中值定理

  • 罗尔定理

  • 费马引理

  • 拉格朗日中值定理

    • 定理证明

  • 柯西中值定理

• 第二节 洛必达法则

  • 洛就完了！

• 第三节 泰勒公式

  • 泰勒中值定理1
  • 泰勒中值定理2

• 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

  • 一 函数单调性的判定法
  • 二 曲线的凹凸性与拐点

• 第五节 函数的极值与最大值最小值

  • 一 函数的极值及其求法
  • 二 最大值最小值问题

• 第六节 函数图形的描绘

  • 利用导数描绘函数图形的一般步骤

    • 五大步

• 第七节 曲率

  • 一 弧微分

    • 弧微分公式

  • 二 曲率及其计算公式

  • 三 曲率圆与曲率半径

  • 四 曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线

• 第八节 方程的近似解

  • 分两步求

    • 1. 确定根的大致范围
    • 2. 以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似解。

  • 一 二分法

  • 二 切线法

  • 三 割线法

第四章 不定积分

• 第一节 不定积分的概念与性质

  • 一 原函数与不定积分的概念

    • 原函数

    • 原函数存在定理

      • 连续函数一定有原函数

  • 二 基本积分表

    • 【基本积分表】十三个基本积分公式

  • 三 不定积分的性质

• 第二节 换元积分法

  • 把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称【换元法】
  • 一 第一类换元法
  • 二 第二类换元法

• 第三节 分部积分法

• 第四节 有理函数的积分

  • 一 有理函数的积分

    • 真分式
    • 假分式

  • 二 可化为有理函数的积分举例

• 第五节 积分表的使用

  • 把常用的积分公式汇集成表 → 【积分表】

第五章 定积分

• 第一节 定积分的概念与性质

  • 一 定积分问题举例

    • 1. 曲边梯形的面积
    • 2. 变速直线运动的路程

  • 二 定积分的定义

    • 被积函数
    • 被积表达式
    • 积分变量
    • 积分下限
    • 积分上限
    • 积分区间

  • 三 定积分的近似计算

  • 四 定积分的性质

• 第二节 微积分基本公式

  • 一 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

  • 二 积分上限的函数及其导数

  • 三 牛顿-莱布尼茨公式

    • 微积分基本公式

• 第三节 定积分的换元法和分部积分法

  • 一 定积分的换元法
  • 二 定积分的分部积分法

• 第四节 反常积分

  • 一 无穷限的反常积分
  • 二 无界函数的反常积分

• 第五节 反常积分的审敛法 Г 函数

  • 一 无穷限反常积分的审敛法
  • 二 无界函数的反常积分的审敛法
  • 三 Г 函数

第六章 定积分的应用

• 第一节 定积分的元素法

• 第二节 定积分在几何学上的应用

  • 一 平面图形的面积

    • 1. 直角坐标
    • 2. 极坐标

  • 二 体积

    • 1. 旋转体
    • 2. 平面截面面积与已知的立体

  • 三 平面曲线的弧长

    • 【定理】光滑曲线弧是可求长的

• 第三节 定积分在物理学上的应用

  • 一 变力沿直线所作的功
  • 二 水压力
  • 三 引力

第七章 微分方程

• 第一节 微分方程的基本概念

  • 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 → 【微分方程】

    • 有时简称方程

  • 微分方程的阶

    • 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数

  • 微分方程的解

  • 微分方程的通解

  • 初值条件

  • 微分方程的特解

    • 确定了通解中的任意常数后

• 第二节 可分离变量的微分方程

  • 是什么？

    • 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和dx，原方程就称为【可分离变量的微分方程】

• 第三节 齐次方程

  • 一 齐次方程
  • 二 可化为齐次的方程

• 第四节 一阶线性微分方程

  • 一 线性方程

    • 齐次
    • 非齐次

  • 二 伯努利方程

• 第五节 可降阶的高阶微分方程

  • 一 y^(n) = f(x) 型的微分方程
  • 二 y" = f(x,y’) 型的微分方程
  • 三 y" = f(y,y’) 型的微分方程

• 第六节 高阶线性微分方程

  • 一 二阶线性微分方程举例
  • 二 线性微分方程的解的结构
  • 三 常数变易法

• 第七节 常系数齐次线性微分方程

  • 二阶常系数齐次线性微分方程的解法
  • n阶方程推广

• 第八节 常系数非齐次线性微分方程

  • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
  • 一 f(x) = e^λxPm(x)型
  • 二 f(x) = e^λx[Pl(x)coswx + Qn(x)sinwx]型

• 第九节 欧拉方程

• 第十节 常系数线性微分方程组解法举例

  • 由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一自变量的函数的情形

    • 这些联立的微分方程 → 微分方程组

  • 如果微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程

    • → 常系数线性微分方程组

下册

第八章 向量代数与空间解析几何

• 第一节 向量及其线性运算

  • 一 向量的概念

    • 既有大小、又有方向

  • 二 向量的线性运算

    • 1. 向量的加减法
    • 2. 向量与数的乘法

  • 三 空间直角坐标系

  • 四 利用坐标作向量的线性运算

  • 五 向量的模与两点间的距离公式

    • 1. 向量的模与两点间的距离公式
    • 2. 方向角与方向余弦
    • 3. 向量在轴上的投影

• *第二节 数量积 向量积 混合积

  • 一 两向量的数量积

    • 交换律
    • 分配律
    • 结合律

  • 二 两向量的向量积

  • *三 向量的混合积

• 第三节 平面及其方程

  • 一 曲面方程与空间曲线方程的概念
  • 二 平面的点法式方程
  • 三 平面的一般方程
  • 四 两平面的夹角

• 第四节 空间直线及其方程

  • 一 空间直线的一般方程
  • 二 空间直线的对称式方程与参数方程
  • 三 两直线的夹角
  • 四 直线与平面的夹角
  • 五 杂例

• 第五节 曲面及其方程

  • 一 曲面研究的基本问题

    • （1）已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程
    • （2）已知坐标x、y和z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状

  • 二 旋转曲面

  • 三 柱面

  • 四 二次曲面

    • （1）椭圆锥面
    • （2）椭球面
    • （3）单叶双曲面
    • （4）双叶双曲面
    • （5）椭圆抛物面
    • （6）双曲抛物面
    • 椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面

• 第六节 空间曲线及其方程

  • 一 空间曲线的一般方程

  • 二 空间曲线的参数方程

    • *曲面的参数方程

  • 三 空间曲线在坐标面上的投影

第九章 多元函数微分法及其应用

• 第一节 多元函数的基本概念

  • *一 平面点集 n维空间

    • 1. 平面点集
    • *2. n维空间

  • 二 多元函数的概念

  • 三 多元函数的极限

  • 四 多元函数的连续性

• 第二节 偏导数

  • 一 偏导数的定义及其计算法
  • 二 高阶偏导数

• 第三节 全微分

  • 一 全微分的定义
  • *二 全微分在近似计算中的应用

• 第四节 多元复合函数的求导法则

  • 1. 一元函数与多元函数复合的情形
  • 2. 多元函数与多元函数复合的情形
  • 三 其他情形

• 第五节 隐函数的求导公式

  • 一 一个方程的情形
  • 二 方程组的情形

• 第六节 多元函数微分学的几何应用

  • 一 一元向量值函数及其导数
  • 二 空间曲线的切线与法平面
  • 三 曲面的切平面与法线

• 第七节 方向导数与梯度

  • 一 方向导数
  • 二 梯度grad

• 第八节 多元函数的极值及其求法

  • 一 多元函数的极值及最大值与最小值

    • 必要条件
    • 充分条件

  • 二 条件极值 拉格朗日乘数法

• *第九节 二元函数的泰勒公式

  • 一 二元函数的泰勒公式
  • 二 极值充分条件的证明

• *第十节 最小二乘法

第十章 重积分

• 第一节 二重积分的概念与性质

  • 一 二重积分的概念

    • 1. 曲顶柱体的体积
    • 2. 平面薄片的质量

  • 二 二重积分的性质

• 第二节 二重积分的计算法

  • 一 利用直角坐标计算二重积分
  • 二 利用极坐标计算二重积分
  • *三 二重积分的换元法

• 第三节 三重积分

  • 一 三重积分的概念

  • 二 三重积分的计算

    • 1. 利用直角坐标计算三重积分
    • 2. 利用柱面坐标计算三重积分
    • *3. 利用球面坐标计算三重积分

• 第四节 重积分的应用

  • 一 曲面的面积

    • *利用曲面的参数方程求曲面的面积

  • 二 质心

  • 三 转动惯量

  • 四 引力

• *第五节 含参变量的积分

第十一章 曲线积分和曲面积分

• 第一节 对弧长的曲线积分

  • 一 对弧长的曲线积分的概念与性质

    • 曲线形构建的质量

  • 二 对弧长的曲线积分的计算法

• 第二节 对坐标的曲线积分

  • 一 对坐标的曲线积分的概念与性质

    • 变力沿曲线所作的功

  • 二 对坐标的曲线积分的计算法

  • 三 两类曲线积分之间的联系

• 第三节 格林公式及其应用

  • 一 格林公式

  • 二 平面上曲线积分与路径无关的条件

  • 三 二元函数的全微分求积

    • *全微分方程

  • *四 曲线积分的基本定理

• 第四节 对面积的曲面积分

  • 一 对面积的曲面积分的概念与性质
  • 二 对面积的曲面积分的计算法

• 第五节 对坐标的曲面积分

  • 一 对坐标的曲面积分的概念与性质

    • 流向曲面一侧的流量

  • 二 对坐标的曲面积分的计算法

  • 三 两类曲面积分之间的联系

• *第六节 高斯公式 通量与散度

  • 一 高斯公式
  • *二 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
  • *三 通量与散度

• *第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

  • 一 斯托克斯公式
  • *二 空间曲线积分与路径无关的条件
  • *三 环流量与旋度

第十二章 无穷级数

• 第一节 常数项级数的概念和性质

  • 一 常数项级数的概念
  • 二 收敛级数的基本性质
  • *三 柯西审敛原理

• 第二节 常数项级数的审敛法

  • 一 正项级数及其审敛法
  • 二 交错级数及其审敛法
  • 三 绝对收敛与条件收敛
  • *四 绝对收敛级数的性质

• 第三节 幂级数

  • 一 函数项级数的概念

  • 二 幂级数及其收敛性

  • 三 幂级数的运算

    • 加法
    • 减法
    • 乘法
    • 除法

• 第四节 函数展开成幂级数

  • 泰勒展开式
  • 麦克劳林展开式
  • 二项展开式

• 第五节 函数的幂级数展开式的应用

  • 一 近似计算
  • 二 微分方程的幂级数解法
  • 三 欧拉公式

• *第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

  • 一 函数项级数的一致收敛性
  • 二 一致收敛级数的基本性质

• 第七节 傅里叶级数

  • 一 三角级数 三角函数系的正交性
  • 二 函数展开成傅里叶级数
  • 三 正弦级数和余弦级数

• 第八节 一般周期函数的傅里叶级数

  • 一 周期为2l的周期函数的傅里叶级数
  • *二 傅里叶级数的复数形式