矩阵及其运算

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

矩阵就是二维数组，上面是一个 m 乘 n 的矩阵，它有 m 行，n 列，每行每列上面都有一个 元素，每个元素都有行标 i 和列标 j， 对应的元素就是
$$a_{ij}$$
矩阵是一种常见的数据结构，它由一堆一维数组（也称为行向量）组成。矩阵是二维数组，由行和列构成。通常用于在数学、计算机科学、统计学等领域进行数据处理和表示。

矩阵可以由一堆行向量组成，这种表示方式称为行向量组成的矩阵；也可以由一堆列向量组成，称为列向量组成的矩阵。矩阵的行数表示矩阵的高度，列数表示矩阵的宽度。行向量组成的矩阵是以横向排列的行向量构成，而列向量组成的矩阵是以纵向排列的列向量构成。

例如，下面是一个由行向量组成的矩阵：

[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]

下面是一个由列向量组成的矩阵：

[1  4  7]
[2  5  8]
[3  6  9]

矩阵在线性代数、图像处理、神经网络等领域具有广泛的应用。在计算机中，矩阵也是很多数据处理算法的基础，例如矩阵乘法、矩阵转置等操作。

方阵，对称矩阵，单位矩阵，对角线

方阵

下面介绍几种特殊的矩阵，如果 m 等于 n，那就称为方阵
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$

对称矩阵

对称矩阵转置后不会改变原始矩阵的形状和值。
定义是 $$a_{ij}$$
等于$$a_{ji}$$那么就是对称矩阵(沿着主对角线（左上角到右下角划分的线）的元素对称， 这里的对称是主对角线两侧的元素相等)，并且肯定是个方阵
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 3\end{array}\right]$$

单位矩阵

主对角线都是 1，其它位置是 0，这称之为单位阵，单位矩阵写为 I，一定是方阵，等同于数字里面的 1
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& \cdots & 0& 0& 0\\ \cdots & 1& \cdots & 0& 0\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$$

单位矩阵对应的方法是numpy模块中的identity和eye方法， numpy.identity返回一个单位矩阵，即一个对角线上为1，其他位置为0的方阵。

identity方法

参数：

• n：一个整数，表示输出的单位矩阵的行数和列数。
• dtype：一个可选参数，用于指定输出数组的数据类型，默认为float类型。

返回值：

• out：一个大小为n x n的NumPy数组，其主对角线为1，其余元素为0。

eye方法

numpy.eye方法用于创建一个单位矩阵，也称为单位矩阵或恒等矩阵。单位矩阵是一个方阵，它的主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。

函数签名：

numpy.eye(N, M=None, k=0, dtype=float, order='C')

参数：

• N：生成矩阵的行数（也是列数，因为是方阵）。
• M：可选参数，生成矩阵的列数，默认为N，因为是方阵，一般不需要指定。
• k：可选参数，对角线的偏移量，默认为0，表示主对角线上的元素为1，其他元素为0；若k为正整数，则主对角线在矩阵的上方，若为负整数，则主对角线在矩阵的下方，对角线元素为1。
• dtype：可选参数，指定生成矩阵的数据类型，默认为float。
• order：可选参数，指定数组的内存布局，'C'表示C顺序，'F'表示Fortran顺序，默认为'C'。

返回值：

• 返回一个单位矩阵，其形状为(N, M)。

示例：

import numpy as np# 创建一个3x3的单位矩阵
eye_matrix = np.eye(3)
print(eye_matrix)
# 输出：
# [[1. 0. 0.]
#  [0. 1. 0.]
#  [0. 0. 1.]]# 创建一个4x4的单位矩阵，主对角线偏移量为1
eye_matrix_shifted = np.eye(4, k=1)
print(eye_matrix_shifted)
# 输出：
# [[0. 1. 0. 0.]
#  [0. 0. 1. 0.]
#  [0. 0. 0. 1.]
#  [0. 0. 0. 0.]]

numpy.eye函数非常有用，特别在线性代数和矩阵运算中经常用到。

identity和eye方法的区别

numpy.eye函数与numpy.identity函数都用于创建单位矩阵，但它们有一些区别：

1. 参数不同：

   • numpy.eye(N, M=None, k=0, dtype=float)：eye函数可以创建任意大小的单位矩阵，其中N表示行数，M表示列数，默认情况下M等于N，k表示对角线的偏移量，默认为0，即主对角线。
   • numpy.identity(n, dtype=None)：identity函数创建的是一个方阵（行数等于列数），只需要一个整数n作为参数，表示输出单位矩阵的行数和列数。

2. 默认值不同：

   • numpy.eye的默认数据类型为float，可以通过dtype参数指定其他数据类型。
   • numpy.identity的默认数据类型也是float，可以通过dtype参数指定其他数据类型。

示例：

import numpy as np# 使用eye创建3x4的单位矩阵，对角线偏移量为1
eye_matrix = np.eye(3, 4, k=1, dtype=int)
print(eye_matrix)
# 输出：
# [[0 1 0 0]
#  [0 0 1 0]
#  [0 0 0 1]]# 使用identity创建3x3的单位矩阵，默认数据类型为float
identity_matrix = np.identity(3, dtype=int)
print(identity_matrix)
# 输出：
# [[1 0 0]
#  [0 1 0]
#  [0 0 1]]

总的来说，eye函数比identity函数更灵活，可以创建非方阵的单位矩阵，并且可以指定对角线的偏移量，而identity函数则专门用于创建方阵的单位矩阵。

对角阵

对角阵，就是主对角线非 0，其它位置是 0

dot方法在矩阵中的应用

numpy.dot方法用于计算两个数组的矩阵乘法（点积）。在矩阵运算中，矩阵乘法是一种常见的操作，它涉及到两个矩阵的元素相乘和求和的过程。

函数签名：

numpy.dot(a, b, out=None)

参数：

• a：要进行矩阵乘法的数组或矩阵。
• b：要进行矩阵乘法的数组或矩阵。
• out：可选参数，指定输出结果的数组。如果不指定，结果将会创建一个新的数组。

返回值：

• 返回两个数组的矩阵乘法结果。

注意事项：

1. 两个数组的维度必须满足矩阵乘法的条件，即第一个数组的列数要与第二个数组的行数相等。
2. 如果两个数组是一维的，那么dot函数将计算它们的点积（内积）。
3. 如果两个数组是二维的，那么dot函数将计算它们的矩阵乘法。

示例：

import numpy as np# 一维数组的点积（内积）
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
dot_product = np.dot(a, b)
print(dot_product)  # 输出：32# 二维数组的矩阵乘法
matrix_a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
matrix_b = np.array([[5, 6], [7, 8]])
matrix_product = np.dot(matrix_a, matrix_b)
print(matrix_product)
# 输出：
# [[19 22]
#  [43 50]]