国科大数字图像处理(复习与整理)

图像处理复习笔记:

  • 1、证明一个系统是线性系统
  • 2、证明函数卷积的傅里叶变换等于函数傅氏变换后的乘积
  • 3、采样定理与混叠
  • 4、直方图均衡化
  • 第一节课知识点
  • 第二节课知识点
  • 第三节课知识点
  • 第四节课知识点
  • 第五节课知识点
  • 第六节课知识点
  • 第七节课知识点
  • 第八节课知识点
  • 第九节课知识点

1、证明一个系统是线性系统

如二维连续傅里叶变换
F ( u , v ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e 2 π j ( u x + v y ) d x d y F(u,v)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)e^{2\pi j(ux+vy)}dxdy F(u,v)=++f(x,y)e2πj(ux+vy)dxdy
证明:
∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ( K a f a ( x , y ) + K b f b ( x , y ) ) e 2 π j ( u x + v y ) d x d y = K a ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f a ( x , y ) e 2 π j ( u x + v y ) d x d y + K B ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f b ( x , y ) e 2 π j ( u x + v y ) d x d y = K a F a ( u , v ) + K b F b ( u , v ) \begin{aligned} &\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(K_af_a(x,y)+K_bf_b(x,y))e^{2\pi j(ux+vy)}dxdy\\ &=K_a\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_a(x,y)e^{2\pi j(ux+vy)}dxdy+K_B\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_b(x,y)e^{2\pi j(ux+vy)}dxdy\\ &=K_aF_a(u,v)+K_bF_b(u,v) \end{aligned} ++(Kafa(x,y)+Kbfb(x,y))e2πj(ux+vy)dxdy=Ka++fa(x,y)e2πj(ux+vy)dxdy+KB++fb(x,y)e2πj(ux+vy)dxdy=KaFa(u,v)+KbFb(u,v)得证。

其他一些属于:
1、参数固定系统(fixed-parameter system):对于任意的 x 0 x_0 x0,有
g ( x + x 0 ) = H [ f ( x + x 0 ) ] g(x+x_0)=H[f(x+x_0)] g(x+x0)=H[f(x+x0)]
当x表示时间时,即为时不变系统。
2、因果系统(causal system):当且仅当输入信号时,系统才会响应,即对于 x 0 x_0 x0,如果有 x < x 0 x<x_0 x<x0,则
f ( x ) = 0 , g ( x ) = H [ f ( x ) ] = 0 f(x)=0,\quad g(x)=H[f(x)]=0 f(x)=0,g(x)=H[f(x)]=0
3、稳定系统(stable system)
∣ f ( x ) ∣ < K , ∣ g ( x ) ∣ < c K |f(x)|<K,\quad |g(x)|<cK f(x)<K,g(x)<cK

2、证明函数卷积的傅里叶变换等于函数傅氏变换后的乘积

即证明:
F [ f ( x ) ⋆ g ( x ) ] = F ( u ) G ( u ) F [ f ( x ) g ( x ) ] = F ( u ) ⋆ G ( u ) \mathscr F[f(x)\star g(x)]=F(u)G(u)\\ \mathscr F[f(x)g(x)]=F(u)\star G(u) F[f(x)g(x)]=F(u)G(u)F[f(x)g(x)]=F(u)G(u)
证明:
F [ f ( x ) ⋆ g ( x ) ] = ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ f ( α ) g ( x − α ) d α ] e − 2 π j u x d x = ∫ − ∞ + ∞ f ( α ) [ ∫ − ∞ + ∞ g ( x − α ) e − 2 π j u x d x ] d α = ∫ − ∞ + ∞ f ( α ) [ G ( u ) e − 2 π j u α ] d α = G ( u ) ∫ − ∞ + ∞ f ( α ) e − 2 π j u α d α = G ( u ) F ( u ) \begin{aligned} F[f(x)\star g(x)]&=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)g(x-\alpha)d\alpha \right]e^{-2\pi jux}dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)\left[\int_{-\infty}^{+\infty}g(x-\alpha)e^{-2\pi jux}dx \right]d\alpha\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)\left[G(u)e^{-2\pi ju\alpha} \right]d\alpha\\ &=G(u) \int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)e^{-2\pi ju\alpha} d\alpha\\ &=G(u)F(u) \end{aligned} F[f(x)g(x)]=+[+f(α)g(xα)dα]e2πjuxdx=+f(α)[+g(xα)e2πjuxdx]dα=+f(α)[G(u)e2πjuα]dα=G(u)+f(α)e2πjuαdα=G(u)F(u)

3、采样定理与混叠

采样:利用单位脉冲函数进行采样,设原函数为 f ( x ) f(x) f(x),采样后的函数为 f ~ ( x ) \tilde f(x) f~(x)
f ~ ( x ) = f ( t ) S Δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − n Δ T ) F ~ ( μ ) = 1 Δ T ∑ n = − ∞ + ∞ F ( μ − n Δ T ) \tilde f(x)=f(t)S_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)\\ \tilde F(\mu)=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(\mu -\frac{n}{\Delta T}) f~(x)=f(t)SΔT(t)=n=+f(t)δ(tnΔT)F~(μ)=ΔT1n=+F(μΔTn)

采样定理:如果以超过信号最高频率2倍的取样率来得到样本,那么连续带限信号能够完全由其样本集合复原。记:
1 Δ T > 2 μ m a x \frac{1}{\Delta T}>2\mu_{max} ΔT1>2μmax
混叠:指取样后不同信号变得无法区分的取样现象
空间采样:必须保证图像细节占两个像素

4、直方图均衡化

步骤:
①、统计灰度值的频率
p r ( r k ) = n k M N p_r(r_k)=\frac{n_k}{MN} pr(rk)=MNnk
②、按照灰度值大小进行排序
③、对每个灰度值对于的像素进行变换
s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∫ 0 r p r ( w ) d w s=T(r)=(L-1)\int_0^rp_r(w)dw s=T(r)=(L1)0rpr(w)dw
作用:增强图像对比度。

理论上来说,当灰度值连续时一定可以得到均匀的直方图,但图像灰度是离散的。另外,只有当图像包含所有灰度值时均衡化之后才能重建图像。


以下内容来自chatGPT:
图像直方图均衡化是一种图像处理技术,通过改变图像的亮度分布来增强图像的对比度。下面是直方图均衡化的一般步骤:

1、计算图像的直方图。
2、计算图像的累积分布函数。
3、根据累积分布函数计算每个像素的新值。
4、将每个像素的新值映射到图像的灰度级上。
5、重新绘制图像。


第一节课知识点

1、二维图像:是一个像素阵列、是一个矩阵、是一个曲面(经过平滑处理)。
2、图像处理的重要性:①改善图像视觉效果,便于人们理解;②为储存、传输和表示对图像进行处理便于机器理解;③获得图像底层视觉;
3、光子能力普朗克定律 E = h v = h c λ E=hv=h\frac{c}{\lambda} E=hv=hλc,频率越高,能力越大,可见光波长范围约为400-700nm(紫-红)。
4、图像格式
①PBM:portable bitmap format 二值图像
②PGM:portable graymap format 灰度图像
③PPM:portable pixmap format 像素图像(彩色)
5、常用成像设备:CCD(电荷耦合器件)、CMOS(互补金属氧化物半导体)
6、采样与量化:空间离散化(由物理像素决定)其反应光子的分布、灰度离散化(由模拟-数字转换决定)其反应光子的数量。
7、像素的位深度:8比特位深度,灰度值范围为0~255。
8、彩色模型
①RGB模型:即red/ green/ blue三原色(光的三原色)
②CYM模型:即cyan/ yellow/ magenta(颜料三原色)
③CYMK模型:在CYM基础上加black,原因是CYM产生的黑色不纯。适合于打印。
③HSI模型:即hue/ saturation/ intensity(色调、饱和度、强度)H控制颜色成分,S控制颜色占比,I控制颜色亮度。

第二节课知识点

1、像素运算
①算术运算:加减乘除
②集合运算:交并补差
③逻辑运算:与或非
④集合变换:复制、缩放、旋转、平移、垂直剪切、水平剪切
[ x ′ y ′ 1 ] = A [ x y 1 ] = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 0 0 1 ] [ x y 1 ] \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix}=A\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix} xy1=Axy1=a11a210a12a220a13a231xy1
[ c x 0 0 0 c y 0 0 0 1 ] 缩 放 [ c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] 旋 转 [ 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ] 平 移 [ 1 s v 0 0 1 0 0 0 1 ] 剪 切 v [ 1 0 0 s h 1 0 0 0 1 ] 剪 切 h \begin{bmatrix} c_x & 0 & 0\\ 0& c_y & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}_{缩放} \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta& 0\\ sin\theta& cos\theta & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}_{旋转}\begin{bmatrix} 1& 0 & t_x\\ 0& 1 & t_y\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}_{平移}\begin{bmatrix} 1& s_v & 0\\ 0& 1 & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}_{剪切v}\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ s_h& 1 & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}_{剪切h} cx000cy0001cosθsinθ0sinθcosθ0001100010txty1100sv10001v1sh0010001h

第三节课知识点

1、点扩散函数:点扩散函数psf(point spread function)是成像系统对点光源的响应,一般复杂图像可以表示为一个真实图像与psf的卷积。
T ( x , y ) = O ( x , y ) ⋆ p s f ( x , y ) F { I ( X , Y ) } = F { O ( x , y ) } ⋅ F { p s f ( x , y ) } = F { O ( x , y ) } ⋅ O T F ( ⋅ ) T(x,y)=O(x,y)\star psf(x,y) \\F\{I(X,Y)\}=F\{O(x,y)\}\cdot F\{psf(x,y)\}=F\{O(x,y)\}\cdot OTF(\cdot) T(x,y)=O(x,y)psf(x,y)F{I(X,Y)}=F{O(x,y)}F{psf(x,y)}=F{O(x,y)}OTF()
O T F OTF OTF被称作光学传递函数,是 p s f psf psf的傅氏变换。
2、图像模型
g ( x , y ) = f ( x , y ) ⋆ h ( x , y ) + η ( x , y ) g(x,y)=f(x,y)\star h(x,y) + \eta (x,y) g(x,y)=f(x,y)h(x,y)+η(x,y),指图像 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)经过衰减和加噪声变成 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)
f ( x , y ) = i ( x , y ) r ( x , y ) c ( x , y ) f(x,y)=i(x,y)r(x,y)c(x,y) f(x,y)=i(x,y)r(x,y)c(x,y) i ( 0 → ∞ ) i(0\to \infty) i(0)为光照函数, r ( 0 → 1 ) r(0\to 1) r(01)为反射函数, c ( 0 → 1 ) c(0\to 1) c(01)为系数。
3、图像空间域滤波:一个图像滤波器可以描述为一个线性系统(卷积就是线性运算)
①均值滤波:窗口 ( W ) (W) (W)越大,高频信号衰减越快。
②高斯滤波:高斯函数连续可导、可分、傅氏变换任为高斯函数(不会出现振铃现象)

4、图像频率域滤波
①理想低通滤波器ILPF(有振铃现象)
②高斯低通滤波器GLPF
③巴特沃斯低通滤波器BLPF(阶数越高越接近ILPF,故高阶时会导致出现振铃现象)

第四节课知识点

4、图像的二维离散傅氏变换
二维连续傅里叶变换:
F ( u , v ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t , z ) e − j 2 π ( u t + v z ) d t d z f ( t , z ) = ∫ − ∞ + ∞ F ( u , v ) e j 2 π ( u t + v z ) d u d v F(u,v)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t,z)e^{-j2\pi (ut+vz)}dtdz\\ f(t,z)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(u,v)e^{j2\pi (ut+vz)}dudv F(u,v)=+f(t,z)ej2π(ut+vz)dtdzf(t,z)=+F(u,v)ej2π(ut+vz)dudv二维离散傅里叶变换:
F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x / M + y / N ) f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e j 2 π ( u x / M + y / N ) F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+y/N)}\\ f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+y/N)} F(u,v)=x=0M1y=0N1f(x,y)ej2π(ux/M+y/N)f(x,y)=MN1u=0M1v=0N1F(u,v)ej2π(ux/M+y/N)
①频谱(sprctrum): ∣ F ( u , v ) ∣ = [ R 2 + I 2 ] 1 / 2 |F(u,v)|=[R^2+I^2]^{1/2} F(u,v)=[R2+I2]1/2
②功率谱(power sprctrum): P ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ 2 P(u,v)=|F(u,v)|^2 P(u,v)=F(u,v)2
③离散傅里叶变换的卷积(注意共轭):
F [ f ( x , y ) ⋆ g ( x , y ) ] = F ∗ ( u , v ) G ( u , v ) F [ f ∗ ( x , y ) g ( x , y ) ] = F ( u , v ) ⋆ G ( u , v ) \mathscr F[f(x,y)\star g(x,y)]=F^*(u,v)G(u,v)\\ \mathscr F[f^*(x,y)g(x,y)]=F(u,v)\star G(u,v) F[f(x,y)g(x,y)]=F(u,v)G(u,v)F[f(x,y)g(x,y)]=F(u,v)G(u,v)
5、图像的二维离散傅氏逆变换
f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e j 2 π ( u x / M + y / N ) ⇓ M N f ∗ ( x , y ) = ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ∗ ( u , v ) e − j 2 π ( u x / M + y / N ) f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+y/N)}\\ \Downarrow \\ MNf^*(x,y)=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F^*(u,v)e^{-j2\pi (ux/M+y/N)} f(x,y)=MN1u=0M1v=0N1F(u,v)ej2π(ux/M+y/N)MNf(x,y)=u=0M1v=0N1F(u,v)ej2π(ux/M+y/N)
可以利用傅里叶变换计算傅里叶逆变换。

6、傅里叶变换的中心化
f ( x , y ) ( − 1 ) x + y ⟺ F ( u − M / 2 , v − N / 2 ) f(x,y)(-1)^{x+y}\Longleftrightarrow F(u-M/2,v-N/2) f(x,y)(1)x+yF(uM/2,vN/2)
7、离散傅里叶变换时间复杂度
二维dft时间复杂度: ( M N ) 2 (MN)^2 (MN)2
二维dft(行列拆分)时间复杂度: 2 M N 2MN 2MN
二维fft时间复杂度: M N l o g 2 ( M N ) MNlog_2(MN) MNlog2(MN)

8、经典图像滤波算子
①拉普拉斯算子
▽ 2 f ( x , y ) = f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 4 f ( x , y ) \bigtriangledown ^2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y) 2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x1,y)+f(x,y+1)+f(x,y1)4f(x,y)
②Roberts算子: [ − 1 0 0 1 ] [ 0 − 1 1 0 ] \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix} [1001][0110]

③Sobel算子: [ − 1 − 2 − 1 0 0 0 1 2 1 ] [ − 1 0 1 − 2 0 2 − 1 0 1 ] \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 &1 \end{bmatrix} 101202101121000121
④Prewitt算子: [ − 1 0 1 − 1 0 1 − 1 0 1 ] [ − 1 − 1 − 1 0 0 0 1 1 1 ] \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 &1 \end{bmatrix} 111000111101101101
⑤Scharr算子: [ − 3 0 3 − 10 0 10 − 3 0 3 ] [ − 3 − 10 − 3 0 0 0 3 10 3 ] \begin{bmatrix} -3 & 0 & 3\\ -10 & 0 & 10\\ -3 & 0 &3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3 & -10 & -3\\ 0 & 0 & 0\\ 3 & 10 &3 \end{bmatrix} 3103000310330310010303

第五节课知识点

1、采样定理示例
单 个 像 素 对 于 实 际 物 体 尺 寸 = 像 素 尺 寸 × 放 大 倍 数 = 像 素 尺 寸 × 与 物 体 距 离 焦 距 单个像素对于实际物体尺寸=像素尺寸\times 放大倍数=像素尺寸\times \frac{与物体距离}{焦距} =×=×
数字孔径Numerical aperture (NA)
N A = n ⋅ s i n ( α ) NA=n\cdot sin(\alpha) NA=nsin(α)其是一个衡量元件光聚集能力的物理量,其中 n n n是介质折射率, α \alpha α是光从透镜光瞳射出的半锥角。
F # F\# F#也是衡量镜头光通量的指标,其定义为:
F # = f D F\#=\frac{f}{D} F#=Df其中 f f f为焦距, D D D为直径,由几何关系可以得到: α = a r c t a n ( D 2 f ) \alpha=arctan(\frac{D}{2f}) α=arctan(2fD)空气的折射率近似为 n = 1 n=1 n=1,则可以推导出: N A = s i n ( a r c t a n ( 1 2 F # ) ) ≈ 1 2 F # NA=sin(arctan(\frac{1}{2F\#}))\approx \frac{1}{2F\#} NA=sin(arctan(2F#1))2F#1分辨率的计算式为(Rayleigh limit): D = 0.61 λ N A D=\frac{0.61\lambda}{NA} D=NA0.61λ由上面推导可以看出,图像分辨率只与光学系统本身相关,与像素、放大倍数等无关。如果分辨率大于两倍的单个像素尺寸,则说明满足空间采样频率要求(采样频率主要由放大倍数决定),即一个分辨率内至少需要采样两次才能保证图像质量。

2、不同的频率域滤波器
①Lowpass filter 低通
②Highpass filter 高通
③Bandreject filter 带阻(高通加低通)
④Bandpass filter 带通

3、正交变换

4、距离变换
①欧几里得(Euclidean)距离 D = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} D=(x2x1)2+(y2y1)2
②曼哈顿(Manhattan)距离(街区距离) D = ∣ x 2 − x 1 ∣ + ∣ y 2 − y 1 ∣ D=\left | x_2-x_1 \right |+\left | y_2-y_1 \right | D=x2x1+y2y1
③切比雪夫(Chebyshev)距离 (棋盘距离) D = m a x ( ∣ x 2 − x 1 ∣ , ∣ y 2 − y 1 ∣ ) D=max(\left | x_2-x_1 \right |,\left | y_2-y_1 \right |) D=max(x2x1,y2y1)
④豪斯多夫(Hausdorff)距离 D = m a x { s u p x ∈ X i n f y ∈ Y d ( x , y ) , s u p y ∈ Y i n f x ∈ X d ( x , y ) } D=max\{\mathop{sup}\limits_{x\in X}\,\mathop{inf}\limits_{y\in Y}\,d(x,y),\mathop{sup}\limits_{y\in Y}\,\mathop{inf}\limits_{x\in X}\,d(x,y)\} D=max{xXsupyYinfd(x,y),yYsupxXinfd(x,y)}

在这里插入图片描述

二值图像距离变换对噪声非常敏感。

第六节课知识点

1、图像的特征值(奇异值)分解
特征值分解 A = P D P − 1 A=PDP^{-1} A=PDP1,奇异值分解 A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT,其中有: A ∈ R n × m , Σ ∈ R n × m , U U T = I n × n , V T V = I m × m A\in R^{n\times m},\Sigma \in R^{n\times m},UU^T=I_{n\times n},V^TV=I_{m\times m} ARn×mΣRn×mUUT=In×nVTV=Im×m对一个图像 B B B左乘 C = A B C=AB C=AB相当于做旋转-拉伸-旋转三次变换,即: C = U Σ V T B C=U\Sigma V^TB C=UΣVTB

图像的SVD逼近:
A = U Σ V T = [ u 1 , ⋯ , u r ] [ σ 1 ⋱ σ r ] [ v 1 T ⋮ v r T ] = u 1 σ 1 v 1 T + ⋯ + u r σ r v r T = ∑ i = 1 r u i σ i v i T = ∑ i = 1 r A i \begin{aligned} A&=U\Sigma V^T\\ &=\left [ u_1,\cdots ,u_r \right ] \begin{bmatrix} \sigma_1& & \\ &\ddots& \\ & &\sigma_r \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1^T \\ \vdots \\ v_r^T \end{bmatrix}\\ &=u_1\sigma_1v_1^T+\cdots+u_r\sigma_rv_r^T\\ &=\sum_{i=1}^ru_i\sigma_iv_i^T\\ &=\sum_{i=1}^rA_i \end{aligned} A=UΣVT=[u1,,ur]σ1σrv1TvrT=u1σ1v1T++urσrvrT=i=1ruiσiviT=i=1rAi由此可以看出,图像可以看作秩为1的矩阵加权和。应用:图像逼近、压缩、去噪

2、图像的空间描述
图像的邻接性(4邻接、8邻接)、连通性(4连通、8连通、混合m连通)、前景、背景、边界。
图像边界跟踪算法。。。

3、图像的统计描述
对于 i → p ( i ) i\to p(i) ip(i),有
①均值(mean): ∑ i p ( i ) \sum ip(i) ip(i)
②方差(variance): ∑ ( i − μ ) 2 p ( i ) \sum (i-\mu)^2p(i) (iμ)2p(i)
③偏度(Skewness): ∑ ( i − μ ) 3 p ( i ) \sum (i-\mu)^3p(i) (iμ)3p(i)
④峰度(Kurtosis): ∑ ( i − μ ) 4 p ( i ) \sum (i-\mu)^4p(i) (iμ)4p(i)
⑤均匀度(uniformity): ∑ p 2 ( i ) \sum p^2(i) p2(i)
⑥交叉熵(entropy): ∑ p ( i ) l o g 2 p ( i ) \sum p(i)log_2p(i) p(i)log2p(i)

4、随机场用于图像分割
马尔可夫随机场
吉布斯随机场
条件随机场
高斯随机场

5、图像的图表示

第七节课知识点

1、图像增强
①目的:采样一系列技术去改善图像的视觉效果,或者将图像转换成一种更适合人或机器进行分析和处理的形式,例如有选择地突出感兴趣的信息,抑制不需要的信息,提高图像的使用价值。
②方法:在这里插入图片描述
灰度变换
1、线性变换(可以扩大灰度值范围,拉伸对比度)
2、分段线性变换(抑制和突出部分区域)
3、反转变换 s = L − r s=L-r s=Lr
4、对数变换
5、指数变换
6、伽马变换 s = c r γ s=cr^\gamma s=crγ
直方图调整法
1、均衡化
2、规定化
①对原始图像做直方图均衡化处理
②按照希望得到的图像的灰度概率密度函数 p z ( z ) p_z(z) pz(z),求得变换函数 G ( z ) G(z) G(z)
③用步骤1得到的灰度级s做逆变换 z = G − 1 ( s ) z=G^{-1}(s) z=G1(s)
经过以上处理得到图像的灰度级将具有规定的概率密度函数 p z ( z ) p_z(z) pz(z)
模板运算
模板保持不变时即为卷积运算。
1、均值滤波
改进:
①超限像素平滑法
②灰度k近邻平均法
③最大均匀性平滑
④有选择保边缘平滑法

2、中值滤波(非线性)对脉冲干扰和椒盐噪声抑制效果好。

伪彩色增强
1、密度分割法
2、灰度级彩色变换(进行红变换、绿变换、蓝变换然后合成)
3、频率域伪彩色增强:对原灰度图像中的不同频率分量赋予不同颜色

彩色图像增强
1、假彩色增强:对原色彩通过映射变成新的颜色,使之呈现出与人眼色觉相匹配的颜色。
2、真彩色增强:将RGB分量转换成ISH分量,利用灰度增强方法对ISH某个分量进行增强,再将结果转为RGB。

图像代数运算
对两幅图像进行加减乘除操作
1、加:消除随机加性噪声(噪声与图像信号强度不相关)、生成图像叠加效果;
2、减:背景消除、动态监测、运动检测;
3、乘:用模板对图像进行处理,例如部分掩盖;

第八节课知识点

1、膨胀
A ⊕ B = { x ∣ [ ( B ^ ) x ∩ A ] ≠ ϕ } A\oplus B=\{x|[(\hat B)_x\cap A]\ne \phi \} AB={x[(B^)xA]=ϕ}A被B膨胀是所有位移x的集合,B的映射与A至少有一个元素是重叠的。
作用:
1)使目标扩展
2)平滑物体边界(背景变成目标)
3)连接狭窄断开
4)去除小孔

2、腐蚀
A ⊖ B = { x ∣ ( B ) x ⊆ A } A\ominus B=\{x|(B)_x\subseteq A \} AB={x(B)xA}A被B腐蚀是所有位移x的集合,其中B平移x后B仍包含于A中。
作用:
1)使目标收缩
2)平滑物体边界(目标变成背景)
3)断开狭长连接
4)去除细长突出物

3、开运算
A ∘ B = ( A ⊖ B ) ⊕ B A\circ B=(A\ominus B)\oplus B AB=(AB)B先腐蚀后膨胀。同一结构元对图像做多次开运算只有一次有效。
4、闭运算
A ∙ B = ( A ⊕ B ) ⊖ B A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B AB=(AB)B先膨胀后腐蚀。开运算与闭运算可以在不明显改变目标面积时平滑目标边缘。

先做开运算后做闭运算可以构成一个噪声滤波器,如对一张指纹图像来说:
腐蚀(去背景噪声)——膨胀(恢复指纹粗细)——膨胀(连接断线)——腐蚀(恢复粗细)

5、击中或击不中变换

形态学的应用
1、边界提取
β ( A ) = A − ( A ⊖ B ) \beta (A)=A-(A\ominus B) β(A)=A(AB)即A减去A的腐蚀。

2、区域填充
迭代算法:
X k + 1 = ( X k ⊕ B ) ∩ A C k = 1 , 2 , 3 ⋯ X_{k+1}=(X_k\oplus B)\cap A^C\quad k=1,2,3\cdots Xk+1=(XkB)ACk=1,2,3

3、连通分量提取
迭代算法:
X k + 1 = ( X k ⊕ B ) ∩ A k = 1 , 2 , 3 ⋯ X_{k+1}=(X_k\oplus B)\cap A\quad k=1,2,3\cdots Xk+1=(XkB)Ak=1,2,3

4、凸包
凸包简单来说是指能包住图像的凸集。

5、细化
A ⊗ B = A − ( A ⊛ B ) { B } = { B 1 , B 2 , ⋯ , B 8 } A ⊗ { B } = ( ( ⋯ ( ( A ⊗ B 1 ) ⊗ B 2 ) ⋯ ) ⊗ B n ) A\otimes B=A-(A\circledast B)\\ \{B\}=\{B^1,B^2,\cdots,B^8\}\\ A\otimes \{B\}=((\cdots((A\otimes B^1)\otimes B^2)\cdots)\otimes B^n) AB=A(AB){B}={B1,B2,,B8}A{B}=((((AB1)B2))Bn)

6、粗化
A ⊙ B = A ∪ ( A ⊛ B ) { B } = { B 1 , B 2 , ⋯ , B 8 } A ⊙ { B } = ( ( ⋯ ( ( A ⊙ B 1 ) ⊙ B 2 ) ⋯ ) ⊙ B n ) A\odot B=A\cup (A\circledast B)\\\{B\}=\{B^1,B^2,\cdots,B^8\}\\ A\odot \{B\}=((\cdots((A\odot B^1)\odot B^2)\cdots)\odot B^n) AB=A(AB){B}={B1,B2,,B8}A{B}=((((AB1)B2))Bn)

7、骨架
主要用到腐蚀与开运算
S ( A ) = ⋃ k = 0 K S k ( A ) S k ( A ) = ( A ⊖ k B ) − ( A ⊖ k B ) ∘ B K = m a x { k ∣ ( A ⊖ k B ) ≠ ϕ } S(A)=\bigcup_{k=0}^{K}S_k(A) \\ S_k(A)=(A\ominus kB)-(A\ominus kB)\circ B\\ K=max\{k|(A\ominus kB)\ne \phi \} S(A)=k=0KSk(A)Sk(A)=(AkB)(AkB)BK=max{k(AkB)=ϕ}其中 ( A ⊖ k B ) (A\ominus kB) (AkB)表示连续做k次腐蚀运算。
恢复:
A = ⋃ k = 0 K ( S k ( A ) ⊕ k B ) A=\bigcup_{k=0}^{K}(S_k(A)\oplus kB) A=k=0K(Sk(A)kB)
变体:
做腐蚀操作时,不立即删除像素,只打标记,在不破坏连通性时将标记点删除。

距离变换
串行距离算法:

基于距离变换的骨架提取:
①求二值图像的边界
②对二值图像求取距离变换
③求距离变换图中的局部极大值
④落入原二值图像中的局部极大值就是图像的骨架

8、裁剪

第九节课知识点

考完了……
寄了,有一些知识点没复习到,比如说采样定理的证明、巴特沃斯滤波器公式、自适应中值滤波等等。(下次老师说不用背公式,谁信谁天真)

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