极限

概念	公式
极限	∃A，∀ε>0，∃δ>0，使x∈(a-δ,a)∪(a,a+δ)时│f(x)-A│<ε ⇔ $\underset{x\to a}{\lim }$f(x)=A
无穷极限	∃A，∀ε>0，∃δ>0，使│x-a│>δ时│f(x)-A│<ε ⇔ $\underset{x\to \infty }{\lim }$f(x)=A
单侧极限	右极限定义为∃A，∀ε>0，∃δ，使x∈(a+δ,a)时│f(x)-A│<ε ⇔ $\underset{x\to a^{-}}{\lim }$f(x)=A，左极限同理
极限有界性	$\underset{x\to a}{\lim }$f(x)存在⇒∃δ，f(x)在(a-δ,a)∪(a,a+δ)内有界
极限保号性	∃δ，∀f(x)∈(a-δ,a)∪(a,a+δ)，f(x)为正（负）⇒ $\underset{x\to a}{\lim }$f(x)存在则为正（负）
极限的四则运算	$\underset{x\to a}{\lim }$f(x) = A，$\underset{x\to a}{\lim }$g(x) = B ⇒ $\underset{x\to a}{\lim }$k1f(x)+k2g(x)=k1A+k2B，$\underset{x\to a}{\lim }$fg = AB，$\underset{x\to a}{\lim }\begin{array}{c}\underline{f(x)}\\ g(x)\end{array}=\begin{array}{c}\underline{A}\\ B\end{array}$
极限存在条件	$\underset{x\to a^{+}}{\lim }$f(x)=$\underset{x\to a^{-}}{\lim }$f(x)=A ⇔ $\underset{x\to a}{\lim }$f(x)=A
夹逼准则	x→+∞时f(x)<g(x)<h(x)，$\underset{x\to a}{\lim }$f(x)=$\underset{x\to a}{\lim }$h(x)=A ⇒$\underset{x\to a}{\lim }$g(x)=A
极限典中典	$\underset{x\to 0}{\lim }\begin{array}{c}\underline{\sin x}\\ x\end{array}$=1，$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$=$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x$=e
无穷大量	∀M>0，∃δ>0，使0<│x-a│<δ时│f(x)│>M ⇔ $\underset{x\to a}{\lim }$f(x)=∞
无穷小量	∀ε>0，∃δ>0，使0<│x-a│<δ时│f(x)│<ε ⇔ $\underset{x\to a}{\lim }$f(x)=0
极限的阶	$\underset{x\to 0}{\lim }\begin{array}{c}\underline{f(x)}\\ g(x)\end{array}$=0/1/C/∞时f(x)是g(x)的高阶/等价/同阶/低阶无穷小

连续

概念	公式
函数的连续性	f(x)在x=a处连续$\iff \underset{x\to a}{\lim }$f(x)=f(a)，只取一边极限则为左（右）连续；在区间上每一点连续⇔在该区间连续
函数的连续特性	连续函数的线性组合、乘、除（分母非零）、复合函数、反函数以及初等函数都在定义好的区间内连续
第一类间断点	f(a-)，f(a+)都存在的点，相等为可去间断点，不相等为跳跃间断点
第二类间断点	f(a-)$，$f(a+)不存在的点，若两者中有∞则为无穷间断点，否则为振荡间断点
单调有界准则	单调增函数有上界则有上极限，单调减函数有下界则有下极限
二重极限	$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }$f=A ⇔ ∃A，∀δ，∃ε>0，在0<$\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$<δ时有│f(x,y)-A│<ε
二元连续	$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }$f(x,y)=f(x0,y0)

导数与微分

概念	公式
导数	f’(x0)=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\begin{array}{c}\underline{f(x_0+\Delta x)-f(x)}\\ \Delta x\end{array}=\underset{x\to x_0}{\lim }\begin{array}{c}\underline{f(x)-f(x_0)}\\ x-x_0\end{array}$，左、右导数为f’(x0-)、f’(x0+)
可导	函数在某一点的左·右导数存在且相等，偏导数、方向导数同理
微分	Δx→0时，Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)
一元导微关系	可微 ⇔ 可导 ⇒ 连续，dy=f’(x0)Δx+o(Δx)
切线/法线	切线为y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)，法线为$y=-\begin{array}{c}x-x_0\\ \overline{f^{\prime }(x_0)}\end{array}+f(x_0)$
导数的物理意义	位移的导数为速度，速度的导数为加速度，⋯⋯
导/微的线性性	(af+bg)‘=af’+bg’
乘除法的微分	(fg)‘=f’g+fg’，$(\frac{f}{g}{)}^{\prime }=\begin{array}{c}\underline{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}\\ g^2\end{array}$
复合函数求导	f’(g(x))=f’(u)│u=g(x)g’(x)
求高阶导公式	(fg)(n)=${\sum }_{i=0}^n{C}_n^i{f}^{(i)}{g}^{(n-i)}$
反函数的求导	$x_y^{\prime }=\begin{array}{c}\underline{\mathrm{d}x}\\ \mathrm{d}y\end{array}=\frac{1}{\mathrm{d}y/\mathrm{d}x}=\begin{array}{c}1\\ \overline{y_x^{\prime }}\end{array}，x_y^{\prime \prime }=\begin{array}{c}\mathrm{d}\\ \overline{\mathrm{d}y}\end{array}\cdot \begin{array}{c}1\\ \overline{y_x^{\prime }}\end{array}=\begin{array}{c}\mathrm{d}\\ \overline{\mathrm{d}x}\end{array}\cdot \begin{array}{c}1\\ \overline{y_x^{\prime }}\end{array}\cdot \begin{array}{c}\underline{\mathrm{d}x}\\ \mathrm{d}y\end{array}=\begin{array}{c}-y_x^{\prime \prime }\\ \overline{(y_x^{\prime }{)}^3}\end{array}，\cdots$
洛必达法则	f(x)，g(x)在a的某去心邻域可导，$\underset{x\to a}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to a}{\lim }$g(x) = 0或∞ ⇒ $\underset{x\to a}{\lim }\begin{array}{c}\underline{f(x)}\\ g(x)\end{array}=\underset{x\to a}{\lim }\begin{array}{c}\underline{f^{\prime }(x)}\\ g^{\prime }(x)\end{array}$
洛必达典中典	$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\begin{array}{c}\underline{\ln x}\\ x^{-1}\end{array}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\begin{array}{c}{x}^{-1}\\ \overline{-x^{-2}}\end{array}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }-x=0$
极值	f(x)在a点有定义，在其某去心邻域上总有f(x)<（>）f(a)，则f(a)为f(x)的极大（小）值
极值特性	极值处可导则f’=0，去心邻域可导则f’一边正一边负，二阶可导则最小（大）值点处f"为正（负）
单调性	连续可导函数在某区间上有f’(x)≥（≤）0且f(x)不在其任一子区间上恒为零⇒f(x)单调递增（递减）
凹凸性	连续函数恒有$f(\begin{array}{c}\underline{x_1+x_2}\\ 2\end{array})<(>)\begin{array}{c}\underline{f(x_1)+f(x_2)}\\ 2\end{array}$，即为凹（凸）函数，且f"(x)≥(≤)0
拐点	连续函数上，凹凸性相反的部分的分界点
拐点特性	拐点x=a二阶可导则f"(a)=0，去心邻域二阶可导则二阶导数一边正一边负

中值定理

·证介值定理和积分中值定理用反证法
·证罗尔定理和拉格朗日中值定理用积分中值定理
·证柯西中值定理时令x=f(t),y=g(t),dy/dx=f’(t)/g’(t)，再用拉格朗日中值定理

解析几何

微分方程与拉氏变换

·用拉氏变换求∫₀^+∞e^-at|sinbt|dt，可用周期拉氏变换求出L(|sinbt|)，再用频移求出L(e^-at|sinbt|)

数列与无穷级数

概念	公式
数列的极限	∃A，∀ε>0，∃N，n>N时│an-A│<ε ⇔ $\underset{n\to \infty }{\lim }$an=A
数列极限存在条件	数列的任意子列的极限存在且相等
数列特性	数列收敛$\Rightarrow$数列有界；数列极限不唯一$\Rightarrow$数列发散；数列收敛且从某项以后全为正（负）$\Rightarrow$数列极限为正（负）
无穷级数	S=$\sum _{n=1}^{\infty }$an=$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n$an
无穷级数末零性	$\sum _{n=1}^{\infty }$an收敛⇒$\underset{n\to \infty }{\lim }$an=0
无穷级数线性性	$\sum _{n=1}^{\infty }$an=S1，$\sum _{n=1}^{\infty }$bn=S2⇒$\sum _{n=1}^{\infty }$(k1an+k2bn)=k1S1+k2S2
无穷级数重排性	改变级数的有限项不影响其敛散性；改变收敛级数的相加顺序，其和不变
正项/交错级数	每一项都为正的级数为正项级数，一项正一项负的级数为交错级数
柯西收敛准则	∀ε>0，∃N，当n>N时，∀p>0，$\left|\begin{array}{c}\sum _{i=n+1}^{n+p}{a}_i\end{array}\right|$<ε⇔$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛
正项放缩判别法	an≥bn或$\underset{n\to \infty }{\lim }\begin{array}{c}\underline{b_n}\\ a_n\end{array}=0\Rightarrow$∑an敛则∑bn敛，∑bn散则∑an散，注意运用调和级数∑$\frac{1}{n}$
正项极限判别法	对两正项级数，$\underset{n\to \infty }{\lim }\begin{array}{c}{a}_n\\ \overline{b_n}\end{array}=$C≠0⇒∑an，∑bn同敛散；非正项级数不适用，如$\begin{array}{c}\underline{(-1{)}^n}\\ \sqrt{n}\end{array}+\frac{1}{n}:\begin{array}{c}\underline{(-1{)}^n}\\ \sqrt{n}\end{array}$
正项比值判别法	$\underset{n\to \infty }{\lim }\begin{array}{c}\underline{a_{n+1}}\\ a_n\end{array}<1$则级数收敛，$\underset{n\to \infty }{\lim }\begin{array}{c}\underline{a_{n+1}}\\ a_n\end{array}>1$则级数发散
正项根值判别法	$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}<1$则级数收敛，$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}>1$则级数发散
正项积分判别法	$\sum _{n=k}^{\infty }$an和${\int }_k^{\infty }$a(x)dx同敛散
正项p-判别法	∃p>1，$\underset{n\to \infty }{\lim }$npan=C⇒∑an收敛；∃p≤1，$\underset{n\to \infty }{\lim }$npan≠0⇒∑an发散
莱布尼茨判别法	交错级数的绝对值单调不增且$\underset{n\to \infty }{\lim }$an=0⇒该级数收敛且$\sum _{n=k+1}^{\infty }$│an│≤│ak│
绝对/条件收敛	∑│an│敛则绝对收敛，∑an敛而∑│an│散则条件收敛
任意级数通性	∑│an│敛⇒∑an敛；任意级数有$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\begin{array}{c}\underline{a_{n+1}}\\ a_n\end{array}\right|>1$或$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{│a_n│}>1$则发散
幂级数与和函数	S(x)=$\sum _{n=0}^{\infty }$an(x-a)n，x∈收敛域
求收敛半径	未缺项时$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\begin{array}{c}\begin{array}{c}\underline{a_{n+1}}\\ a_n\end{array}\end{array}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\left|\begin{array}{c}{a}_n\end{array}\right|}=\begin{array}{c}1\\ \overline{R}\end{array}$，缺项时$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\begin{array}{c}\begin{array}{c}\underline{a_{n+k}}\\ a_n\end{array}\end{array}\right|=\begin{array}{c}1\\ \overline{R^k}\end{array}$
幂级数收敛区间	幂级数在a点展开，收敛半径为R时，收敛区间=(a-R,a+R)
幂级数收敛域	收敛域 = 收敛区间 ∪ 收敛端点
幂级数阿贝敛理	$\sum _{n=0}^{\infty }$an(x-a)n在b点收敛⇒│x-a│<│b-a│时该级数绝对收敛
幂级数阿贝散理	$\sum _{n=0}^{\infty }$an(x-a)n在b点发散⇒│x-a│>│b-a│时该级数发散
复合收敛半径	两个在同一点展开的级数相加或相乘后，新级数的R=min(R1,R2)
幂级数的连续性	幂级数的和函数在其收敛域内连续
逐项求导与积分	S’(x)=$\sum _{n=1}^{\infty }$nan(x-a)n-1，求导后仅收敛区间不变；${\int }_0^x$S(t)dt=$\sum _{n=0}^{\infty }\begin{array}{c}{a}_n\\ \overline{n+1}\end{array}{x}^{n+1}$
泰勒级数	$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\begin{array}{c}\underline{f^{(n)}(x_0)}\\ n!\end{array}(x-x_0{)}^n，\begin{array}{c}\underline{f^{(n+1)}(\xi )}\\ (n+1)!\end{array}(x-x_0{)}^{n+1}$为拉格朗日余项，$o(x^n)$为皮亚诺余项
泰勒级数使用条件	f(x)在x=x0的某邻域内可泰勒展开⇔f(x)在该邻域内具有任意阶导数，余项$\underset{n\to \infty }{\lim }$Rn(x)=0
麦克劳林级数	f(x) =$\sum _{n=0}^{\infty }\begin{array}{c}\underline{f^{(n)}(0)}\\ n!\end{array}{x}^n$
幂级数唯一性	在x=x0的某邻域有$\sum _{n=0}^{\infty }$an(x-a)n =$\sum _{n=0}^{\infty }$bn(x-b)n⇔ai=bi
常用展开式	见另一篇博客
狄利克雷条件	周期函数$f(x)$在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点和极值，且绝对可积
傅里叶级数	$f(x)=\begin{array}{c}\underline{a_0}\\ 2\end{array}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{2\pi n}{T}x+b_n\sin \frac{2\pi n}{T}x),\{\begin{array}{c}{a}_0=\frac{2}{T}\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\\ a_n=\frac{2}{T}\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}f(x)\cos \frac{2\pi n}{T}x\mathrm{d}x\\ b_n=\frac{2}{T}\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}f(x)\sin \frac{2\pi n}{T}x\mathrm{d}x\end{array}$
傅里叶级数特性	f(x)在某区间内满足狄利克雷条件即可“傅展”，展后为以被展区间为周期的周期函数
狄利克雷收敛定理	在f(x)的间断点x=a处，其傅里叶级数收敛于$\begin{array}{c}\underline{f(a^{-})+f(a^{+})}\\ 2\end{array}$
倒数平方和	在[-π,π]上将f(x)=│x│展开成傅里叶级数，可算出$\sum _{n=1}^{\infty }\begin{array}{c}1\\ \overline{n^2}\end{array}=\begin{array}{c}\underline{{\pi }^2}\\ 6\end{array}$

积分例题（定积分）

2020·数学一·16

2021·数学一·20