1. **酉空間的基本概念**：

設 \(V\) 是複數域 \(\mathbb{C}\) 上的綫性空間，對於 \(V\) 中任意兩個矢量 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，都有一個確定的複數 \((\alpha,\beta)\) 與之對應，稱為 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 的內積，且滿足以下性質：

\((\alpha,\beta)=\overline{(\beta,\alpha)}\)（共軛對稱性），其中 \(\overline{(\beta,\alpha)}\) 表示 \((\beta,\alpha)\) 的共軛複數。 - \((k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)\)，\(k\in\mathbb{C}\)（數乘性）。

\((\alpha + \beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)\)，\(\gamma\in V\)（線性性）。

\((\alpha,\alpha)\geq0\)，且 \((\alpha,\alpha)=0\) 當且僅當 \(\alpha = 0\)（正定性）。

這樣的綫性空間 \(V\) 稱為酉空間。

矢量 \(\alpha\) 的長度（模）定義為 \(\vert\alpha\vert=\sqrt{(\alpha,\alpha)}\)，兩個非零矢量 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的夾角 \(\theta\) 定義為 \(\cos\theta=\frac{\text{Re}((\alpha,\beta))}{\vert\alpha\vert\vert\beta\vert}\)（\(\text{Re}((\alpha,\beta))\) 表示 \((\alpha,\beta)\) 的實部），若 \((\alpha,\beta)=0\)，則稱 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 正交。

2. **酉變換與酉矩陣的性質及應用**：

設 \(\sigma\) 是酉空間 \(V\) 的一個線性變換，若對於任意的 \(\alpha,\beta\in V\)，都有 \((\sigma(\alpha),\sigma(\beta)) = (\alpha,\beta)\)，則稱 \(\sigma\) 是 \(V\) 的一個酉變換。酉變換在一組標準正交基下的矩陣 \(U\) 稱為酉矩陣，酉矩陣滿足 \(U^HU = UU^H = I\)（\(U^H\) 表示 \(U\) 的共軛轉置）。

酉矩陣的列（行）向量組是標準正交向量組，酉變換保持向量的內積、長度和夾角不變，在量子力學等領域有重要應用。

3. **矩陣的奇異值分解及其應用**：

對於任意的 \(m\times n\) 矩陣 \(A\)，存在酉矩陣 \(U\)（\(m\) 階）、酉矩陣 \(V\)（\(n\) 階）和非負對角矩陣 \(\Sigma\)（\(m\times n\) 階），使得 \(A = U\Sigma V^H\)，其中 \(\Sigma\) 的對角元素 \(\sigma_i\)（\(i = 1,2,\cdots,\min(m,n)\)）稱為矩陣 \(A\) 的奇異值。

奇異值分解在數據壓縮、矩陣逼近、信號處理等領域有廣泛應用，例如在圖像壓縮中，可以利用奇異值分解保留主要的奇異值和對應的信息，去除次要信息，從而達到壓縮的目的。

**例題解析**：

1. 在酉空間 \(\mathbb{C}^2\) 中，定義內積 \((\alpha,\beta)=x_1\overline{y_1}+2x_2\overline{y_2}\)，其中 \(\alpha=(x_1,x_2)\)，\(\beta=(y_1,y_2)\)，求矢量 \(\alpha=(1,i)\) 的長度。

解：

根据矢量長度定義 \(\vert\alpha\vert=\sqrt{(\alpha,\alpha)}\)。

則 \((\alpha,\alpha)=1\times\overline{1}+2\times i\times\overline{i}=1 + 2\times i\times(-i)=1 + 2 = 3\)。

所以 \(\vert\alpha\vert=\sqrt{3}\)。

2. 判斷矩陣 \(U = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\) 是否為酉矩陣。

解：

先求 \(U^H\)，\(U^H = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{i}{\sqrt{2}}\\-\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)。

再計算 \(U^HU\)：

\(U^HU = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{i}{\sqrt{2}}\\-\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}&\frac{i}{2}-\frac{i}{2}\\-\frac{i}{2}+\frac{i}{2}&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I\)。

所以 \(U\) 是酉矩陣。

3. 已知酉空間 \(\mathbb{C}^3\) 中，矢量 \(\alpha=(1,0,i)\)，\(\beta=(i,1,0)\)，判斷它們是否正交。

解：

計算 \((\alpha,\beta)=1\times\overline{i}+0\times\overline{1}+i\times\overline{0}=-i + 0 + 0=-i\neq0\)。

所以 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 不正交。

4. 求矩陣 \(A = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\) 的奇異值分解。

解：

先計算 \(A^HA = \begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)。

求 \(A^HA\) 的特征值：

\(\vert\lambda I - A^HA\vert = \begin{vmatrix}\lambda - 1& - 1\\ - 1&\lambda - 1\end{vmatrix}= (\lambda - 1)^2 - 1 = \lambda^2 - 2\lambda + 1 - 1 = \lambda^2 - 2\lambda = 0\)。

解得特征值 \(\lambda_1 = 2\)，\(\lambda_2 = 0\)。

求特征向量：

當 \(\lambda_1 = 2\) 時，解齊次線性方程組 \((\lambda_1 I - A^HA)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}1& - 1\\ - 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，得到特征向量 \(\xi_1 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)，單位化得 \(\nu_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)。

當 \(\lambda_2 = 0\) 時，解齊次線性方程組 \((\lambda_2 I - A^HA)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}-1& - 1\\ - 1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，得到特征向量 \(\xi_2 = \begin{pmatrix}1\\ - 1\end{pmatrix}\)，單位化得 \(\nu_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ - 1\end{pmatrix}\)。

令 \(V = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)。

奇異值 \(\sigma_1 = \sqrt{\lambda_1}=\sqrt{2}\)，\(\sigma_2 = \sqrt{\lambda_2}=0\)，則 \(\Sigma = \begin{pmatrix}\sqrt{2}&0\\0&0\end{pmatrix}\)。

計算 \(AV = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt{2}&0\\0&0\end{pmatrix}\)。

取 \(U = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)（因為 \(AV = U\Sigma\)）。

所以 \(A\) 的奇異值分解為 \(A = U\Sigma V^H = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{2}&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}^H\)。

5. 已知酉變換 \(\sigma\) 在酉空間 \(\mathbb{C}^2\) 的一組標準正交基 \(\alpha_1,\alpha_2\) 下的矩陣 \(U = \begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}\)，求 \(\sigma(\alpha_1 + i\alpha_2)\)。

解：

根据線性變換與矩陣的關係，\(\sigma(\alpha_1 + i\alpha_2)=\sigma(\alpha_1)+i\sigma(\alpha_2)\)。

由矩陣 \(U\) 可知 \(\sigma(\alpha_1)=0\cdot\alpha_1 + i\cdot\alpha_2 = i\alpha_2\)，\(\sigma(\alpha_2)=i\cdot\alpha_1 + 0\cdot\alpha_2 = i\alpha_1\)。

所以 \(\sigma(\alpha_1 + i\alpha_2)=i\alpha_2 + i\times(i\alpha_1)=i\alpha_2 - \alpha_1=-\alpha_1 + i\alpha_2\)。

6. 在酉空間 \(\mathbb{C}^2\) 中，定義內積如例 1 所述，求矢量 \(\alpha=(1 + i,2)\) 與 \(\beta=(1 - i,1)\) 的內積。

解：

根据內積定義 \((\alpha,\beta)=(1 + i)\times\overline{(1 - i)}+2\times2\times\overline{1}\)。

計算 \((1 + i)\times\overline{(1 - i)}=(1 + i)(1 + i)=1 + 2i + i^2 = 2i\)，\(2\times2\times\overline{1}=4\)。

所以 \((\alpha,\beta)=2i + 4\)。

7. 證明酉矩陣的行列式的模等於 \(1\)。

證明：

設 \(U\) 是酉矩陣，則 \(U^HU = I\)。

兩邊取行列式得 \(\vert U^HU\vert=\vert I\vert\)。

因為 \(\vert U^HU\vert=\vert U^H\vert\vert U\vert\)，且 \(\vert U^H\vert=\overline{\vert U\vert}\)（行列式的共軛轉置等於行列式的共軛），\(\vert I\vert = 1\)。

所以 \(\overline{\vert U\vert}\vert U\vert=\vert U\vert^2 = 1\)，即 \(\vert\vert U\vert\vert = 1\)，也就是酉矩陣的行列式的模等於 \(1\)。