高等数学（第七版）同济大学 习题8-5
函数作图软件：Mathematica
1. 一球面过原点及 A ( 4 , 0 , 0 ) 、 B ( 1 , 3 , 0 ) 和 C ( 0 , 0 , − 4 ) 三点，求球面的方程及球心的坐标和半径 . \begin{aligned}&1. \ 一球面过原点及A(4, \ 0, \ 0)、B(1, \ 3, \ 0)和C(0, \ 0, \ -4)三点，求球面的方程及球心的坐标和半径.&\end{aligned} 1. 一球面过原点及A(4, 0, 0)、B(1, 3, 0)和C(0, 0, −4)三点，求球面的方程及球心的坐标和半径.
解：
设所求球面的方程为 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 ，将已知点坐标代入方程， { a 2 + b 2 + c 2 = R 2 ， ( 1 ) ( a − 4 ) 2 + b 2 + c 2 = R 2 ， ( 2 ) ( a − 1 ) 2 + ( b − 3 ) 2 + c 2 = R 2 ， ( 3 ) a 2 + b 2 + ( 4 + c ) 2 = R 2 . ( 4 ) ，根据 ( 1 ) ( 2 ) 得 a = 2 ，根据 ( 1 ) ( 4 ) 得 c = − 2 ， 将 a = 2 代入 ( 2 ) ( 3 ) 得 b = 1 ， R = 3 ，因此球面方程为 ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 9 ， 球心坐标为 ( 2 , 1 , − 2 ) ，半径为 3. \begin{aligned} &\ \ 设所求球面的方程为(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2，将已知点坐标代入方程，\\\\ &\ \ \begin{cases}a^2+b^2+c^2=R^2，(1)\\\\(a-4)^2+b^2+c^2=R^2，(2)\\\\(a-1)^2+(b-3)^2+c^2=R^2，(3)\\\\a^2+b^2+(4+c)^2=R^2.(4)\end{cases}，根据(1)(2)得a=2，根据(1)(4)得c=-2，\\\\ &\ \ 将a=2代入(2)(3)得b=1，R=3，因此球面方程为(x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=9，\\\\ &\ \ 球心坐标为(2,\ 1, \ -2)，半径为3. & \end{aligned} 设所求球面的方程为(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2，将已知点坐标代入方程， ⎩ ⎨ ⎧a2+b2+c2=R2，(1)(a−4)2+b2+c2=R2，(2)(a−1)2+(b−3)2+c2=R2，(3)a2+b2+(4+c)2=R2.(4)，根据(1)(2)得a=2，根据(1)(4)得c=−2， 将a=2代入(2)(3)得b=1，R=3，因此球面方程为(x−2)2+(y−1)2+(z+2)2=9， 球心坐标为(2, 1, −2)，半径为3.
2. 建立以点 ( 1 , 3 , − 2 ) 为球心，且通过坐标原点的球面方程 . \begin{aligned}&2. \ 建立以点(1, \ 3, \ -2)为球心，且通过坐标原点的球面方程.&\end{aligned} 2. 建立以点(1, 3, −2)为球心，且通过坐标原点的球面方程.
解：
设以点 ( 1 , 3 , − 2 ) 为球心， R 为半径的球面方程为 ( x − 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = R 2 ，球面过原点， 则 ( 0 − 1 ) 2 + ( 0 − 3 ) 2 + ( 0 + 2 ) 2 = R 2 ，得 R 2 = 14 ，因此球面方程为 ( x − 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 14. \begin{aligned} &\ \ 设以点(1, \ 3, \ -2)为球心，R为半径的球面方程为(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=R^2，球面过原点，\\\\ &\ \ 则(0-1)^2+(0-3)^2+(0+2)^2=R^2，得R^2=14， 因此球面方程为(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=14. & \end{aligned} 设以点(1, 3, −2)为球心，R为半径的球面方程为(x−1)2+(y−3)2+(z+2)2=R2，球面过原点， 则(0−1)2+(0−3)2+(0+2)2=R2，得R2=14，因此球面方程为(x−1)2+(y−3)2+(z+2)2=14.
3. 方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z = 0 表示什么曲面？ \begin{aligned}&3. \ 方程x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z=0表示什么曲面？&\end{aligned} 3. 方程x2+y2+z2−2x+4y+2z=0表示什么曲面？
解：
方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z = 0 整理为 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 6 ，因此方程表示 以 ( 1 , − 2 , − 1 ) 为球心，以 6 为半径的球面 . \begin{aligned} &\ \ 方程x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z=0整理为(x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=6，因此方程表示\\\\ &\ \ 以(1, \ -2, \ -1)为球心，以\sqrt{6}为半径的球面. & \end{aligned} 方程x2+y2+z2−2x+4y+2z=0整理为(x−1)2+(y+2)2+(z+1)2=6，因此方程表示 以(1, −2, −1)为球心，以6为半径的球面.
4. 求与坐标原点 O 及点 ( 2 , 3 , 4 ) 的距离之比为 1 : 2 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？ \begin{aligned}&4. \ 求与坐标原点O及点(2, \ 3, \ 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？&\end{aligned} 4. 求与坐标原点O及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
解：
设坐标 ( x , y , z ) ，根据题意可知， ( x − 0 ) 2 + ( y − 0 ) 2 + ( z − 0 ) 2 ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 + ( z − 4 ) 2 = 1 2 ，整理得 ( x + 2 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z + 4 3 ) 2 = 116 9 ，因此曲面表示以 ( − 2 3 , − 1 , − 4 3 ) 为球心，以 2 3 29 为半径的球面 . \begin{aligned} &\ \ 设坐标(x, \ y, \ z)，根据题意可知，\frac{\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}}{\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2}}=\frac{1}{2}，整理得\\\\ &\ \ \left(x+\frac{2}{3}\right)^2+(y+1)^2+\left(z+\frac{4}{3}\right)^2=\frac{116}{9}，因此曲面表示以\left(-\frac{2}{3}, \ -1, \ -\frac{4}{3}\right)为球心，以\frac{2}{3}\sqrt{29}为半径的球面. & \end{aligned} 设坐标(x, y, z)，根据题意可知，(x−2)2+(y−3)2+(z−4)2(x−0)2+(y−0)2+(z−0)2=21，整理得 (x+32)2+(y+1)2+(z+34)2=9116，因此曲面表示以(−32, −1, −34)为球心，以3229为半径的球面.
5. 将 x O z 坐标面上的抛物线 z 2 = 5 x 绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 . \begin{aligned}&5. \ 将xOz坐标面上的抛物线z^2=5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.&\end{aligned} 5. 将xOz坐标面上的抛物线z2=5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.
解：
根据旋转曲面方程，以 ± y 2 + z 2 代替抛物线方程 z 2 = 5 x 中的 z ，得 ( ± y 2 + z 2 ) 2 = 5 x ，即 y 2 + z 2 = 5 x . \begin{aligned} &\ \ 根据旋转曲面方程，以\pm\sqrt{y^2+z^2}代替抛物线方程z^2=5x中的z，得(\pm\sqrt{y^2+z^2})^2=5x，即y^2+z^2=5x. & \end{aligned} 根据旋转曲面方程，以±y2+z2代替抛物线方程z2=5x中的z，得(±y2+z2)2=5x，即y2+z2=5x.
6. 将 x O z 坐标面上的圆 x 2 + z 2 = 9 绕 z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 . \begin{aligned}&6. \ 将xOz坐标面上的圆x^2+z^2=9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.&\end{aligned} 6. 将xOz坐标面上的圆x2+z2=9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.
解：
根据旋转曲面方程，以 ± x 2 + y 2 代替圆方程 x 2 + z 2 = 9 中的 x ，得 ( ± x 2 + y 2 ) 2 + z 2 = 9 ，即 x 2 + y 2 + z 2 = 9. \begin{aligned} &\ \ 根据旋转曲面方程，以\pm\sqrt{x^2+y^2}代替圆方程x^2+z^2=9中的x，得(\pm\sqrt{x^2+y^2})^2+z^2=9，即x^2+y^2+z^2=9. & \end{aligned} 根据旋转曲面方程，以±x2+y2代替圆方程x2+z2=9中的x，得(±x2+y2)2+z2=9，即x2+y2+z2=9.
7. 将 x O y 坐标面上的双曲线 4 x 2 − 9 y 2 = 36 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 . \begin{aligned}&7. \ 将xOy坐标面上的双曲线4x^2-9y^2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.&\end{aligned} 7. 将xOy坐标面上的双曲线4x2−9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.
解：
根据旋转曲面方程，以 ± y 2 + z 2 代替双曲线方程 4 x 2 − 9 y 2 = 36 中的 y ， 得双曲线绕 x 轴旋转一周生成得旋转曲面方程为 4 x 2 − 9 ( ± y 2 + z 2 ) 2 = 36 ，即 4 x 2 − 9 y 2 − 9 z 2 = 36 ， 以 ± x 2 + z 2 代替双曲线方程 4 x 2 − 9 y 2 = 36 中的 x ， 得双曲线绕 y 轴旋转一周生成得旋转曲面方程为 4 ( ± x 2 + z 2 ) 2 − 9 y 2 = 36 ，即 4 x 2 − 9 y 2 + 4 z 2 = 36. \begin{aligned} &\ \ 根据旋转曲面方程，以\pm\sqrt{y^2+z^2}代替双曲线方程4x^2-9y^2=36中的y，\\\\ &\ \ 得双曲线绕x轴旋转一周生成得旋转曲面方程为4x^2-9(\pm\sqrt{y^2+z^2})^2=36，即4x^2-9y^2-9z^2=36，\\\\ &\ \ 以\pm\sqrt{x^2+z^2}代替双曲线方程4x^2-9y^2=36中的x，\\\\ &\ \ 得双曲线绕y轴旋转一周生成得旋转曲面方程为4(\pm\sqrt{x^2+z^2})^2-9y^2=36，即4x^2-9y^2+4z^2=36. & \end{aligned} 根据旋转曲面方程，以±y2+z2代替双曲线方程4x2−9y2=36中的y， 得双曲线绕x轴旋转一周生成得旋转曲面方程为4x2−9(±y2+z2)2=36，即4x2−9y2−9z2=36， 以±x2+z2代替双曲线方程4x2−9y2=36中的x， 得双曲线绕y轴旋转一周生成得旋转曲面方程为4(±x2+z2)2−9y2=36，即4x2−9y2+4z2=36.
8. 画出下列各方程所表示的曲面： \begin{aligned}&8. \ 画出下列各方程所表示的曲面：&\end{aligned} 8. 画出下列各方程所表示的曲面：
( 1 ) ( x − a 2 ) 2 + y 2 = ( a 2 ) 2 ； ( 2 ) − x 2 4 + y 2 9 = 1 ； ( 3 ) x 2 9 + z 2 4 = 1 ； ( 4 ) y 2 − z = 0 ； ( 5 ) z = 2 − x 2 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ -\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1；\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{x^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y^2-z=0；\\\\ &\ \ (5)\ \ z=2-x^2. & \end{aligned} (1) (x−2a)2+y2=(2a)2； (2) −4x2+9y2=1； (3) 9x2+4z2=1； (4) y2−z=0； (5) z=2−x2.
解：
( 1 ) \begin{aligned} &\ \ (1)\ & \end{aligned} (1)
( 2 ) \begin{aligned} &\ \ (2)\ & \end{aligned} (2)
( 3 ) \begin{aligned} &\ \ (3)\ & \end{aligned} (3)
( 4 ) \begin{aligned} &\ \ (4)\ & \end{aligned} (4)
( 5 ) \begin{aligned} &\ \ (5)\ & \end{aligned} (5)
9. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形： \begin{aligned}&9. \ 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：&\end{aligned} 9. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：
( 1 ) x = 2 ； ( 2 ) y = x + 1 ； ( 3 ) x 2 + y 2 = 4 ； ( 4 ) x 2 − y 2 = 1. \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ x=2；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=x+1；\\\\ &\ \ (3)\ \ x^2+y^2=4；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ x^2-y^2=1. & \end{aligned} (1) x=2； (2) y=x+1； (3) x2+y2=4； (4) x2−y2=1.
解：
( 1 ) x = 2 在平面解析几何中表示平行于 y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与 y O z 面平行的平面 . ( 2 ) y = x + 1 在平面解析几何中表示斜率为 1 ， y 轴截距为 1 的一条直线，在空间解析几何中表示平行于 z 轴的平面 . ( 3 ) x 2 + y 2 = 4 在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为 2 的圆，在空间解析几何中表示母线平行于 z 轴， 准线为 { x 2 + y 2 = 4 ， z = 0. 的圆柱面 . ( 4 ) x 2 − y 2 = 1 在平面解析几何中表示以 x 轴为实轴， y 轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于 z 轴， 准线为 { x 2 − y 2 = 1 ， z = 0 的双曲柱面 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ x=2在平面解析几何中表示平行于y轴的一条直线，在空间解析几何中表示与yOz面平行的平面.\\\\ &\ \ (2)\ y=x+1在平面解析几何中表示斜率为1，y轴截距为1的一条直线，在空间解析几何中表示平行于z轴的平面.\\\\ &\ \ (3)\ x^2+y^2=4在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2的圆，在空间解析几何中表示母线平行于z轴，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 准线为\begin{cases}x^2+y^2=4，\\\\z=0.\end{cases}的圆柱面.\\\\ &\ \ (4)\ x^2-y^2=1在平面解析几何中表示以x轴为实轴，y轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z轴，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 准线为\begin{cases}x^2-y^2=1，\\\\z=0\end{cases}的双曲柱面. & \end{aligned} (1) x=2在平面解析几何中表示平行于y轴的一条直线，在空间解析几何中表示与yOz面平行的平面. (2) y=x+1在平面解析几何中表示斜率为1，y轴截距为1的一条直线，在空间解析几何中表示平行于z轴的平面. (3) x2+y2=4在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2的圆，在空间解析几何中表示母线平行于z轴， 准线为⎩ ⎨ ⎧x2+y2=4，z=0.的圆柱面. (4) x2−y2=1在平面解析几何中表示以x轴为实轴，y轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z轴， 准线为⎩ ⎨ ⎧x2−y2=1，z=0的双曲柱面.
10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的： \begin{aligned}&10. \ 说明下列旋转曲面是怎样形成的：&\end{aligned} 10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：
( 1 ) x 2 4 + y 2 9 + z 2 9 = 1 ； ( 2 ) x 2 − y 2 4 + z 2 = 1 ； ( 3 ) x 2 − y 2 − z 2 = 1 ； ( 4 ) ( z − a ) 2 = x 2 + y 2 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{9}=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ x^2-\frac{y^2}{4}+z^2=1；\\\\ &\ \ (3)\ \ x^2-y^2-z^2=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ (z-a)^2=x^2+y^2. & \end{aligned} (1) 4x2+9y2+9z2=1； (2) x2−4y2+z2=1； (3) x2−y2−z2=1； (4) (z−a)2=x2+y2.
解：
( 1 ) x 2 4 + y 2 9 + z 2 9 = 1 表示 x O y 面上的椭圆 x 2 4 + y 2 9 = 1 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示 x O z 面上的 椭圆 x 2 4 + z 2 9 = 1 r a o x 轴旋转一周生成的旋转曲面 . ( 2 ) x 2 − y 2 4 + z 2 = 1 表示 x O y 面上双曲线 x 2 − y 2 4 = 1 绕 y 轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示 y O z 面上 双曲线 − y 2 4 + z 2 = 1 绕 y 轴旋转一周生成的旋转曲面 . ( 3 ) x 2 − y 2 − z 2 = 1 表示 x O y 面上双曲线 x 2 − y 2 = 1 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示 x O z 面上 双曲线 x 2 − z 2 = 1 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面 . ( 4 ) ( z − a ) 2 = x 2 + y 2 表示 x O z 面上直线 z = x + a 或 z = − x + a 绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示 y O z 面上 的直线 z = y + a 或 z = − y + a 绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{9}=1表示xOy面上的椭圆\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1绕x轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示xOz面上的\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 椭圆\frac{x^2}{4}+\frac{z^2}{9}=1raox轴旋转一周生成的旋转曲面.\\\\ &\ \ (2)\ x^2-\frac{y^2}{4}+z^2=1表示xOy面上双曲线x^2-\frac{y^2}{4}=1绕y轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示yOz面上\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 双曲线-\frac{y^2}{4}+z^2=1绕y轴旋转一周生成的旋转曲面.\\\\ &\ \ (3)\ x^2-y^2-z^2=1表示xOy面上双曲线x^2-y^2=1绕x轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示xOz面上\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 双曲线x^2-z^2=1绕x轴旋转一周生成的旋转曲面.\\\\ &\ \ (4)\ (z-a)^2=x^2+y^2表示xOz面上直线z=x+a或z=-x+a绕z轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示yOz面上\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 的直线z=y+a或z=-y+a绕z轴旋转一周生成的旋转曲面. & \end{aligned} (1) 4x2+9y2+9z2=1表示xOy面上的椭圆4x2+9y2=1绕x轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示xOz面上的 椭圆4x2+9z2=1raox轴旋转一周生成的旋转曲面. (2) x2−4y2+z2=1表示xOy面上双曲线x2−4y2=1绕y轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示yOz面上 双曲线−4y2+z2=1绕y轴旋转一周生成的旋转曲面. (3) x2−y2−z2=1表示xOy面上双曲线x2−y2=1绕x轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示xOz面上 双曲线x2−z2=1绕x轴旋转一周生成的旋转曲面. (4) (z−a)2=x2+y2表示xOz面上直线z=x+a或z=−x+a绕z轴旋转一周生成的旋转曲面，或表示yOz面上 的直线z=y+a或z=−y+a绕z轴旋转一周生成的旋转曲面.
11. 画出下列方程所表示的曲面： \begin{aligned}&11. \ 画出下列方程所表示的曲面：&\end{aligned} 11. 画出下列方程所表示的曲面：
( 1 ) 4 x 2 + y 2 − z 2 = 4 ； ( 2 ) x 2 − y 2 − 4 z 2 = 4 ； ( 3 ) z 3 = x 2 4 + z 2 9 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 4x^2+y^2-z^2=4；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ x^2-y^2-4z^2=4；\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{z}{3}=\frac{x^2}{4}+\frac{z^2}{9}. & \end{aligned} (1) 4x2+y2−z2=4； (2) x2−y2−4z2=4； (3) 3z=4x2+9z2.
解：
( 1 ) \begin{aligned} &\ \ (1)\ & \end{aligned} (1)
( 2 ) \begin{aligned} &\ \ (2)\ & \end{aligned} (2)
( 3 ) \begin{aligned} &\ \ (3)\ & \end{aligned} (3)
12. 画出下列各曲面所围立体的图形： \begin{aligned}&12. \ 画出下列各曲面所围立体的图形：&\end{aligned} 12. 画出下列各曲面所围立体的图形：
( 1 ) z = 0 ， z = 3 ， x − y = 0 ， x − 3 y = 0 ， x 2 + y 2 = 1 （在第一卦限内）； ( 2 ) x = 0 ， y = 0 ， z = 0 ， x 2 + y 2 = R 2 ， y 2 + z 2 = R 2 （在第一卦限内） . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ z=0，z=3，x-y=0，x-\sqrt{3}y=0，x^2+y^2=1（在第一卦限内）；\\\\ &\ \ (2)\ \ x=0，y=0，z=0，x^2+y^2=R^2，y^2+z^2=R^2（在第一卦限内）. & \end{aligned} (1) z=0，z=3，x−y=0，x−3y=0，x2+y2=1（在第一卦限内）； (2) x=0，y=0，z=0，x2+y2=R2，y2+z2=R2（在第一卦限内）.
解：
( 1 ) \begin{aligned} &\ \ (1)\ & \end{aligned} (1)
( 2 ) \begin{aligned} &\ \ (2)\ & \end{aligned} (2)
